ارتعاشات منابع سرفصل درس تعاریف و مفاهیم پایه ارتعاشات آزاد سیستمهاي یك درجه آزادي ارتعاش اجباري هارمونیك ارتعاش گذرا سیستمهاي دو درجه آزادي

Transcript

1 ارتعاشات منابع 1- تئوری ارتعاشات و کاربرد آن در مهندسی دکتر منصور نیکخواه بهرامی انتشارات دانشگاه تهران 2 - Vibration Theory with Applications - Thomson W.T. and M.D.Dahleh 3 - Mechanical Vibrations - Rao, S.S سرفصل درس تعاریف و مفاهیم پایه ارتعاشات آزاد سیستمهاي یك درجه آزادي ارتعاش اجباري هارمونیك ارتعاش گذرا سیستمهاي دو درجه آزادي سیستمهاي چند درجه آزادي 1

2 شکل - 2 ارتعاشات ناخواسته )مزاحم( شکل - 1 ارتعاشات عمدی )مفید( شکل 3 مدل پیوسته )بی نهایت درجه آزادی( شکل 4 سیستم یک درجه آزادی )مدل ناپیوسته( شکل 5 سیستم دو درجه آزادی )مدل ناپیوسته( 2

3 شکل 6 سیستم سه درجه آزادی )مدل ناپیوسته( 3

4 شکل 7 ارتعاش اجباری تحت نیروی خارجی F(t) شکل 8 تخریب پل Tacoma Narrow در اثر تشدید ناشی از نیروی باد 4

5 حرکت هارمونیک حرکت نوسانی ممکن است به طور منظم تکرار شود. وقتی این حرکت در فواصل زمانی یکسان τ تکرار میگردد بدان حرکت متناوب )پریودیک( گفته میشود. x(t) = x(t + τ) زمان تکرار τ f = 1 τ فرکانس )بسامد( تکرار تعداد نوسان در یک ثانیه سادهترین فرم حرکت متناوب حرکت هارمونیک است که به وسیله حرکت یک جرم توصیف میشود که از یک فنر سبک آویزان شده است. x = A sin ωt شکل 9 هارمونیک ساده دامنه نوسان A ω سرعت زاویهای ω = 2π τ = 2πf ω معموال بر حسب رادیان بر ثانیه اندازهگیری میشود و بدان فرکانس دایرهای نیز اطالق میگردد. شکل 10 حرکت هارمونیک به صورت حرکت دایرهای با سرعت ثابت در حرکت هارمونیک سرعت و شتاب نیز هارمونیک با همان فرکانس اصلی هستند. سرعت به اندازه x = Aω cos ωt = Aω sin (ωt + π 2 ) x = Aω 2 sin ωt = Aω 2 sin (ωt + π) π 2 و شتاب به اندازه π رادیان جلوتر از تغییر مکان است. x = ω 2 x 5

6 شکل 11 جابجایی سرعت و شتاب حرکت هارمونیک ساده حرکت متناوب )پریودیک( فوریه نشان داد که هر حرکت متناوب را میتوان به وسیله یک سری از سینوسها و کسینوسها بیان نمود که بدان سری فوریه گفته میشود. که در آن: a 0 = 2 τ τ 2 τ 2 x(t) dt = ω π π ω x(t) dt π ω a n = 2 τ 2 τ x(t) cos ω nt dt = 2 τ τ 2 b n = 2 τ 2 τ x(t) sin ω nt dt = 2 τ τ 2 τ 2 x(t) cos nωt dt τ 2 τ 2 x(t) sin nωt dt τ 2 = ω π = ω π π ω x(t) cos nωt dt π ω π ω x(t) sin nωt dt π ω, n = 1,2,, n, n = 1,2,, n چون سری فوریه برای تابع هارمونیک نوشته میشود میتوان روابط باال را به صورت زیر نیز بیان نمود: ω = 2π τ τ = 2π ω a 0 = 2 τ a n = 2 τ b n = 2 τ τ x(t) dt 0 = ω π τ x(t) cos nωt dt 0 τ x(t) sin nωt dt 0 2π ω x(t) dt 0 = ω π = ω π 2π ω x(t) cos nωt dt 0 2π ω x(t) sin nωt dt 0, n = 1,2,, n, n = 1,2,, n 6

7 همچنین سری فوریه را میتوان به صورت تابع مختلط نیز بیان نمود: که در آن: ضرایب c n از رابطه زیر محاسبه میشوند: مثال 1: سری فوریه تابع زیر را محاسبه نموده و طیف فرکانسی را ترسیم نمایید. حل: انتگرال جز به جز: 7

8 u dv = uv v du روش جدولی: برای این مثال میتوان نوشت: 8

9 مثال 2: سری فوریه تابع زیر را محاسبه نموده و طیف فرکانسی را ترسیم نمایید. حل: 9

10 n c n = a n 4A π 2 4A 9π 2 4A 25π 2 4A 49π 2 4A 81π 2 4A 121π 2 10

11 فصل دوم ارتعاش آزاد سیستمهای یک درجه آزادی معادله حرکت فرکانس طبیعی شکل 1 سیستم جرم فنر و دیاگرام آزاد با تعریف بسامد مدور ω 2 n = k m رابطه باال را میتوان به صورت زیر نوشت: A = x(0), B = x (0) رابطه باال را به صورت زیر میتوان نوشت: 11

12 مثال 1: ثابت فنر معادل میله یکنواخت به طول l سطح مقطع A مدول یانگ حل: E را تحت نیروی کششی )یا فشاری( بیابید. F افزایش طول )یا کاهش طول( δ تحت نیروی کششی )یا فشاری( F را میتوان به صورت زیر بیان نمود: ε = در رابطه باال کرنش )ε( و تنش )σ( به صورت زیر تعریف میشود: تغییر طول = δ l طول اصلی نیرو سطح σ = ε = σ E در نتیجه: مثال 2: فرکانس طبیعی جرم M روی انتهای تیر یک سر درگیر با جرم ناچیز زیر را تعیین نمایید. 12

13 رابطه خمش تیر یک سر درگیر با نیروی متمرکز P: P = W = mg ممان اینرسی تیر حول محور E z مدول االستیسیته یانگ I ω n = k eq m = 3EI l3 m = 3EI ml 3 مثال 3: قطر میله فوالدی 0/5 cm و طول آن 2 متر است. اگر چرخ تحت جابجایی زاویهای قرار گرفته و رها شود 10 نوسان را در 30/2 ثانیه انجام میدهد. ممان اینرسی قطبی چرخ و الستیک را محاسبه نمایید. حل: رابطه پیچش به صورت زیر است: Lγ = ρφ φ = Lγ ρ φ = TL J bar G T = J barg φ T = Kφ L K = J barg L M = Jα T = Jφ M = Jα T = Jθ Jθ = Kθ ممان اینرسی جرمی میله و الستیک K سختی پیچشی و θ زاویه پیچش بر حسب رادیان است. 13 J

14 برای میله فوالدی میتوان نوشت: K = GJ bar /l J bar = π 2 r4 = π 32 D4 G مدول برشی فوالد J bar = π 32 (0/ ) 4 = 0/ m 4 ω n 2 = K J مثال 4: معادله حرکت و فرکانس طبیعی سیستم زیر را بیابید. حل: در حالت تعادل فرض شده که فنر سمت چپ از طول آزاد کشیده شده و فنر قضیه فرض شود باز جواب تغییر نخواهد کرد. سمت راست فشرده شده است. اگر خالف این حالت تعادل در حالت تعادل: 14

15 M O = 0 P 1 a mgc + P 2 b = 0 در حالت ارتعاش: M O = J O θ (P 1 + kaθ)a mgc + (P 2 + kbθ)b = J O θ P 1 a mgc + P 2 b + ka 2 θ + kb 2 θ = J O θ (ka 2 + kb 2 )θ = J O θ θ + k(a2 + b 2 ) J O θ = 0 ω n = k(a2 + b 2 ) J O چون در معادله حرکت عبارات مربوط به حالت تعادل در نهایت حذف میگردند نسبت به حالت تعادل سنجیده شود و نیروهای ذاتی موثر در حالت تعادل نیز در نظر گرفته نشوند: برای سادگی بهتر است که تغییر مکان M O = J O θ (kaθ)a + (kbθ)b = J O θ θ + k(a2 + b 2 ) J O θ = 0 ω n = k(a2 + b 2 ) J O در مورد مثال جرم فنر: kx = mx mx + kx = 0 15

16 روش انرژی در یک سیستم پایستار انرژی کل ثابت است. برای ارتعاش آزاد یک سیستم نامیرا بخشی از انرژی به صورت انرژی جنبشی و بخشی دیگر به صورت انرژی پتانسیل ظاهر شده است. ین بدان معنی است که انرژی جنبشی انرژی پتانسیل است. (T) (U) از اصل بقای انرژی توان نوشت: ناشی از سرعت در جرم ذخیره میشود. به شکل انرژی کرنش در تغییر مکان االستیک یا کار انجام شده در میدان نیروی جاذبه ذخیره شده ثابت = U T + d (T + U) = 0 dt می T 1 + U 1 = T 2 + U 2 اگر اندیس 1 را برای حالتی در نظر بگیریم که جرم از وضعیت تعادل استاتیکی خود میگذرد: U 1 = 0 T 1 = T max اگر اندیس 2 متناظر با حالتی باشد که متناظر با حداکثر تغییر مکان باشد در این حالت سرعت جرم برابر صفر خواهد بود: T 2 = 0 U 2 = U max T max = U max پس اصل بقای انرژی را میتوان به صورت زیر نوشت: از رابطه باال میتوان برای تعیین فرکانس طبیعی سیستم استفاده نمود. مثال 5: معادله حرکت را برای سیستم جرم فنر به جرم m و ثابت فنر حل: k به دست آورید. 1 ثابت = kx2 1 2 mx ثابت = kx2 2 mv d dt (1 2 mx kx2 ) = 0 (mx + kx)x = 0 = 0 kx x 0 mx + در حالت کلی 16

17 مثال 6: فرکانس طبیعی سیستم زیر را تعیین نمایید. حل: در زمان عبور از تعادل استاتیکی در حالت حداکثر تغییر مکان فنر θ = A sin(ω n t + φ) θ = Aω n cos(ω n t + φ) 1 2 (J + mr ) θ max = 1 2 kr 2 2 θ 2 max sin(ω n t + φ) = 1 θ max = A cos(ω n t + φ) = 1 θ max = Aω n (J + mr 1 2 )(Aω n ) 2 = kr 2 2 A 2 یادآوری از دینامیک: 17

18 حرکت انتقالی حرکت دورانی حرکت صفحهای کلی انرژی پتانسیل فنر: T = 1 2 kx2 رابطه ممان اینرسی در فاصله d از مرکز جرم: مثال 7: فرکانس طبیعی سیستم زیر را با فرض غلتش بدون لغزش تعیین نمایید. V c = (R r)θ } φ = V c = rφ (R r) θ r سرعت انتقالی مرکز دیسک T = 1 2 mv c Iφ 2 بنابراین: ممان اینرسی دیسک حول مرکز جرمش عبارتست از: I = 1 2 mr2 d (T + U) = 0 dt به ازای زوایای کوچک: sin θ θ 18

19 راه دوم: T = 3 w 4 g (R r)2 θ 2 کوچک θ U = 2w(R r)sin 2 θ 2 = 2w(R r) θ2 4 = 1 2 w(r r)θ2 θ=a sin(ωt+φ) T = 3 w 4 g (R r)2 A 2 ω 2 cos 2 (ωt + φ) T max = 3 4 θ=a sin(ωt+φ) w g (R r)2 A 2 ω 2 U = 1 2 w(r r)θ2 = 1 2 w(r r)a2 sin 2 (ωt + φ) U max = 1 2 T max = U max 3 w 4 g (R r)2 A 2 ω 2 = 1 2 w(r r)a2 ω n = w(r r)a2 2g 3(R r) روش رایلی : جرم موثر روش انرژی را میتوان برای سیستمهای چند جرمی یا سیستمهای جرم گسترده به کار برد به شرط آن که حرکت هر نقطه از سیستم معلوم باشد. انرژی جنبشی سیستم را در نهایت میتوان به صورت زیر تبدیل نمود: T = 1 2 m effx 2 m eff جرم موثر یا جرم تجمیعی معادل در نقطه مشخص استو اگر سختی فنر در آن نقطه معلوم باشد فرکانس طبیعی از رابطه زیر تعیین میشود: ω n = y k m eff y مثال 8: اثر جرم فنر را بر روی فرکانس طبیعی سیستم جرم فنر ساده تعیین نمایید. حل: اگر x سرعت جرم متمرکز M باشد میتوان فرض کرد سرعت یک المان جزء طولی از فنر در فاصله تغییر میکند: به صورت خطی با V = x y l 19

20 T = 1 l 2 V2 0 dm, dm = m s l انرژی جنبشی فنر را میتوان با انتگرال زیر محاسبه نمود: dy m s جرم فنر است T = 1 2 m s 3 x mx 2 = 1 2 m effx 2 M m b مثال 9: جرم تیر زیر است و جرم متمرکز نمایید.خمش در اثر نیروی متمرکز P در وسط تیر از رابطه در وسط آن قرار دارد. جرم موثر و فرکانس طبیعی سیستم زیر را تعیین Pl 3 48EI محاسبه میشود. حل: در حالتی که میله فاقد جرم باشد: y max = Wl3 48EI ω n = k eq M = W y max M = 48EI/l3 M = 48EI Ml 3 برای در نظر گرفتن جرم میله به صورت زیر عمل مینماییم: T = l/2 V2 dm, dm = m b l/2 انرژی جنبشی بیشینه تیر به تنهایی: T max,total = 1 2 My max (0/4857m 2 b)y max = 1 2 m 2 effy max 20

21 و C مثال 10: جرم معادل را در دو نقطه A برای سیستم زیر بیابید. m r جرم بازو m v جرم سوپاپ m p جرم میله متصل به پیرو m s جرم فنر حل: T = 1 2 m px p m vx v (I O)θ r (1 3 m s) x v 2 I O = J r + m r l 3 2 x p = l 1 θ, x v = l 2 θ, x r = l 3 θ در نقطه A داریم: T = 1 2 m p(l 1 θ ) m v(l 2 θ ) (J r + m r l 3 2 )θ r (1 3 m s) (l 2 θ ) 2 T = 1 2 m effx A 2 = 1 2 m effx p 2 = 1 2 m eff(l 1 θ ) m p(l 1 θ ) m v(l 2 θ ) (J r + m r l 3 2 )θ r (1 3 m s) (l 2 θ ) 2 = 1 2 m eff(l 1 θ ) 2 m eff = m p + m v ( l 2 2 ) + J l r ( 1 2 ) + m 1 l r ( l 2 3 ) l 1 3 m s ( l 2 2 ) l 1 T = 1 2 m p(l 1 θ ) m v(l 2 θ ) (J r + m r l 3 2 )θ r (1 3 m s) (l 2 θ ) 2 در نقطه C داریم: T = 1 2 m effx C 2 = 1 2 m effx v 2 = 1 2 m eff(l 2 θ ) m p(l 1 θ ) m v(l 2 θ ) (J r + m r l 3 2 )θ r (1 3 m s) (l 2 θ ) 2 = 1 2 m eff(l 2 θ ) 2 m eff = m p ( l 2 1 ) + m l v + J r ( 1 2 ) + m 2 l r ( l 2 3 ) + ( 1 2 l 2 3 m s) 21

22 سختی معادل فنرها فنرهای موازی برای n فنر موازی: فنرهای سری: فنر سری: n برای 22

23 مثال 11: ثابت فنر معادل سیستم زیر را بیابید. حل: جدول سختی فنر l I ممان اینرسی سطح مقطع طول کلی A سطح مقطع J ثابت پیچشی سطح مقطع 23

24 جدول سختی فنر )ادامه( n تعداد دورهای فنر 24

25 ارتعاش آزاد با میرایی لزجی در حالتی که یک صفحه تخت با سرعت ثابت v بر روی الیه نازکی از سیال حرکت کند: u = vy h du dy = v h τ = μ v h طبق رابطه باال نیروی میرایی لزجی F متناسب با سرعت است که در خالف جهت حرکت صفحه عمل میکند: در رابطه باال c ثابت میرایی میرا کننده میباشد. در میرایی لزجی نیروی میرا کننده متناسب با سرعت جسم ارتعاشی است. به عنوان مثال در موارد زیر میتوان میرایی را از نوع لزجی فرض کرد: 1- الیه نازک سیال بین سطوح لغزنده 2- جریان سیال حول یک پیستون در یک سیلندر 3- جریان سیال از میان یک اریفیس 4- الیه نازک سیال حول یک یاتاقان ژورنال اریفیس فلنج )شماره 1 و 2( 25

26 یاتاقان ژورنال برای سیستم جرم- فنر زیر با میرایی لزجی با نوشتن قانون دوم نیوتن خواهیم داشت: اگر حل معادله باال را به شکل زیر در نظر بگیریم: C و s در معادله باال ثابتهای نامعلوم هستند. با قرار دادن رابطه باال در معادله حرکت خواهیم داشت: ریشههای معادله باال عبارتند از: حلهای معادله حرکت عبارتند از: حل کلی معادله حرکت )خطی( با ترکیب دو حل به صورت زیر به دست میآید: 26

27 C 2 و C 1 ثابتهای ثابت میرایی بحرانی میرایی بحرانی c c ثابتهای دلخواه هستند که از شرایط اولیه سیستم تعیین میشوند. مقداری از ثابت بحرانی c است که به ازای آن جمله زیر رادیکال در جواب معادله صفر شود: ω n = c c 2m نسبت میرایی نسبت میرایی ζ به صورت نسبت ثابت میرایی به ثابت میرایی بحرانی تعریف میشود: در نتیجه: ماهیت ریشههای و s 1 s 2 و در نتیجه رفتار حل معادله حرکت به مقدار میرایی بستگی دارد. در حالتی که = 0 ζ به ارتعاشات آزاد میانجامد که پیشتر بدان اشاره شد )میرایی بحرانی(. در حالتی که > 1 ζ باشد هر دو ریشه حقیقی بوده و نوسانی اتفاق نمیافتد )میرایی فوق بحرانی(. در حالتی که < 1 ζ باشد دو ریشه مختلط شده و حرکت نوسانی میباشد )حالت زیرمیرایی(. -1 حالت زیرمیرایی Underdamped system در حالتی که باشد در این شرایط (ζ 2 1) منفی بوده و ریشهها عبارتند از: 27

28 (X 0, φ 0 ) در روابط باال ) 2 C (X, φ) (C 1, شرایط اولیه: و ثابتهای دلخواه هستند که از شرایط اولیه محاسبه میشوند. x(t) = e ζωnt (C 1 cos 1 ζ 2 ω n t + C 2 sin 1 ζ 2 ω n t) x (t) = ( ζω n ) e ζω nt (C 1 cos 1 ζ 2 ω n t + C 2 sin 1 ζ 2 ω n t) +e ζω nt 1 ζ 2 ω n ( C 1 sin 1 ζ 2 ω n t + C 2 cos 1 ζ 2 ω n t) بنابراین حل به صورت زیر میباشد: (I) ثابتهای و ) 0 (X 0, φ به صورت زیر بیان میشوند: (X, φ) 28

29 ζ 2 1ω n معادله حرکت (I) بیانگر حرکت هارمونیک میرا با فرکانس زاویهای است اما به دلیل ضریب e ζω nt زمان به صورت نمایی کاهش مییابد )شکل زیر(. دامنهاش با کمیت نمودار حل زیرمیرایی ω d = 1 ζ 2 ω n فرکانس ارتعاش میرا نامیده میشود. میتوان دید که فرکانس ارتعاش میرا ω d کمتر از فرکانس طبیعی است. ω n ω d < ω n کاهش فرکانس ارتعاش میرا با افزایش مقدار میرایی )طبق رابطه ω( d همراه است. که در شکل زیر نشان داده شده است: ω d 2 + ζ 2 ω n 2 = ω n 2 نمودار تغییرات با میرایی ω d حالت زیرمیرایی در مطالعه ارتعاشات مکانیکی بسیار با اهمیت است زیرا تنها حالتی است که منجر به حرکت نوسانی میشود. 29

30 -2 میرایی بحرانی System) (Critically Damped در این حالت: ζ یا = 1 c = c c یا c 2m = k m در این حالت ریشههای معادله حرکت با هم برابرند )ریشه مضاعف(: حل معادله حرکت به صورت زیر میباشد: x (t) = C 2 e ω nt ω n (C 1 + C 2 t)e ω nt شرایط اولیه: در نتیجه: e ω nt 0 مشاهده میشود که حل باال غیرپریودیک است زیرا وقتی t میرود میل میکند و حرکت به صورت ناگهانی به صفر کاهش مییابد )شکل زیر(. مقایسه حرکت با انواع متفاوت میرایی -3 حالت فوق میرایی ζ یا > 1 c > c c یا c 2m > k m در این حالت معادله حرکت دو ریشه مجزا به صورت زیر دارد: 30

31 که در آن s 2 s 1 میباشد. حل معادله حرکت را میتوان به صورت زیر بیان نمود: شرایط اولیه: x(t) = C 1 e ( ζ+ ζ 2 1)ω n t + C2 e ( ζ ζ 2 1)ω n t x (t) = C 1 ω n ( ζ + ζ 2 1) e ( ζ+ ζ 2 1)ω n t + C2 ω n ( ζ ζ 2 1) e ( ζ ζ 2 1)ω n t در نتیجه: حل معادله حرکت با ثابتهای باال نشان میدهد که صرفنظر از شرایط اولیه تحمیلی بر سیستم حرکت غیرپریودیک است. زیرا ریشههای و s 1 s 2 هر دو منفی بوده و به صورت نمایی با زمان کاهش مییابند که در شکل باال نشان داده شده است. t 2 و t 1 اگر کاهش لگاریتمی یک روش ساده برای تعیین میرایی یک سیستم اندازه گیری زوال نوسان آزاد آن سیستم است. هرچه میرایی بیشتر باشد میزان زوال بیشتر خواهد شد. کاهش لگاریتمی بیانگر نرخ کاهش دامنه ارتعاش میرای آزاد میباشد. کاهش لگاریتمی به صورت لگاریتم طبیعی نسبت هر دو دامنه متوالی تعریف میشود. زمانهای متناظر دو دامنه متوالی باشند که برای یک سیستم زیرمیرا اندازه گیری شدهاند میتوان نوشت: اما که در آن 31

32 ω d = 1 ζ 2 ω n دوره تناوب ارتعاش میراست. بنابراین: بنابراین: کاهش لگاریتمی (δ) به صورت زیر محاسبه میشود: معادله )الف( به ازای مقادیر بسیار کوچک میرایی خواهیم داشت: معادله )ب( تغییرات کاهش لگاریتمی با میرایی مثال: نشان دهید که به جای استفاده از دو جابجایی پشت سر هم میتوان از رابطه زیر برای تعیین کاهش لگاریتمی استفاده نمود: t 1 در رابطه باال m یک عدد صحیح بوده و و x 1 x m+1 به ترتیب دامنههای نوسان مربوط به زمانهای میباشند. 1+m t و 32

33 حل: میرایی کولمب میرایی کولمب از لغزش دو سطح خشک بر روی یکدیگر نتیجه میشود. نیروی میرایی برابر است با حاصلضرب نیروی عمود بر سطح و ضریب اصطکاک سطح و مستقل از سرعت فرض میشود: -1 سیستم جرم فنر با میرایی کولمب بسته به این که جهت حرکت جرم به کدام سمت باشد دو حالت مختلف را باید بررسی نمود: dx وقتی که > 0 x و > 0 dt راست حرکت میکند: است یا زمانی که < 0 x و dx dt > 0 یعنی وقتی که جرم از سمت چپ به سمت (I) معادله حل معادله باال به صورت زیر میباشد: 33

34 و A 1 A 2 ثابتهایی هستند که باید به کمک شرایط اولیه در نیم سیکل مزبور محاسبه گردند. وقتی که و است یا زمانی که و یعنی dx وقتی که جرم از سمت راست به dt < 0 x < 0 dx dt < 0 x > 0-2 سمت چپ حرکت میکند: (II) معادله و A 3 A 4 ثابتهایی هستند که باید به کمک شرایط اولیه در این نیم سیکل محاسبه گردند. mx + μmg x x + kx = 0 (I) معادالت در رابطه باال (II) و x x را میتوان تنها با رابطه زیر بیان نمود: را میتوان با تابع sgn(x) جایگزین نمود که بدان تابع عالمت گفته میشود: (III) معادله تابع عالمت به صورت زیر تعریف میشود: = 0 y به ازای 0 sgn(y) = > 0 y به ازای 1 { < 0 y به ازای 1 برای حل معادله (III) اگر شرایط اولیه زیر را در نظر بگیریم: یعنی در لحظه جابجایی و سرعت صفر است. بنابراین حرکت جسم از راست به چپ میباشد و ثابتهای x 0 t = 0.1 و A 3 A 4 به صورت زیر محاسبه میگردند: x (t) = A 3 ω n sin ω n t + A 4 ω n cos ω n t 34

35 و حل معادله حرکت را میتوان با رابطه زیر بیان نمود: (IV) معادله حل باال تنها برای بازه زمانی وقتی 0 t π ω n t = π ω n محاسبه میگردد: صادق است. باشد جرم در دورترین فاصله در سمت چپ نقطه تعادل قرار دارد که این فاصله از رابطه زیر چون حرکت از جابجایی باشد. x = x 0 در نیمه دوم حرکت برای محاسبه ثابتهای استفاده نمود: آغاز شده است پس اندازه کاهش در زمان x t = π ω n به میزان 2μN k )در زمان A 2 و A 1 t = 0 ) میتوان از زمان t = π ω n در معادله می- (IV).2 بنابراین ثابتهای x (t) = A 1 ω n sin ω n t + A 2 ω n cos ω n t x t=0 = x t=π ωn در معادله( IV ) = (x 0 2μN k ) x t=0 = x t=π ωn در معادله( IV ) = ω n (x 0 μn k ) sin ω nt = 0 t=π ω n A 2 و A 1 به صورت زیر محاسبه میگردند: جواب معادله حرکت در نیمسیکل چپ به راست به صورت زیر بیان میگردد: حل باال تنها برای بازه زمانی π ω n t 2π ω n جابجایی در پایان این نیمسیکل عبارتست از: صادق است. این مقادیر شرایط اولیه برای شروع نیمسیکل سوم میباشند. حرکت جرم زمانی متوقف میشود x n μn k بنابراین تعداد نیم سیکلهای پیموده شده پیش از توقف باشد زیرا در این شرایط نیروی kx (r) را میتوان از رابطه زیر محاسبه نمود: کمتر از نیروی اصطکاک μn خواهد بود. 35

36 خالصه نتایج: 1- معادله حرکت در حالتی که میرایی کولمب وجود داشته باشد غیرخطی است در حالی که در میرایی لزجی معادله خطی میباشد. mx + kx + μn = 0 mx + kx μn = 0 2- فرکانس طبیعی سیستم با افزودن میرایی کولمب بدون تغییر میماند در حالی که با افزودن میرایی لزجی کاهش مییابد. کولمب, n ω لزجی, d k m, ω = = 1 ζ 2 ω n در میرایی کولمب حرکت تناوبی )پریودیک( است اما در میرایی لزجی )حالت فوق میرایی( میتواند غیرتناوبی باشد. در میرایی کولمب سیستم پس از مدتی به حالت سکون میرسد در حالی که در حالت تئوری میرایی لزجی حرکت به صورت مداوم ادامه خواهد داشت. شیب خط کاهش دامنه در میرایی کولمب به صورت زیر قابل محاسبه است: μN k 2π در هر دو سیکل متوالی از میرایی کولمب )در اختالف زمان ω n ( دامنه حرکت به میزان کاهش -6 مییابد: 7- در میرایی کولمب دامنه به صورت خطی کاهش مییابد در حالی که در میرایی لزجی کاهش به صورت نمایی میباشد. در میرایی لزجی: x m+1 = x 1 e mζω nτ d x 2m = x 0 4mμN k در میرایی کولمب: 36

37 حرکت جرم با میرایی کولمب 37

38 38

39 39